Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

Etapa 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Etapa 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Etapa 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 2

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique $2 q - 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Subtraia $q$ de $2 q$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 3

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $2 q - 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 3.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $q$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Expanda $(2 q - 1) (q - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Multiplique $q$ por $q$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1.1

Mova $q$ .

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.2.1.1.2

Multiplique $q$ por $q$ .

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.2.1.3

Reescreva $- 1 q$ como $- q$ .

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.2.2

Subtraia $q$ de $- 2 q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Multiplique $q$ por $q$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1.1

Mova $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.6.1.2

Multiplique $q$ por $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Etapa 5.1.7

Multiplique $q - 1$ por $1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $2 q^{2}$ de $2 q^{2}$ .

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

Etapa 5.2.2

Some $- 3 q + 1$ e $0$ .

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

Etapa 5.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$- 3 q + 2 q + q + 0$

Etapa 5.2.4

Some $- 3 q + 2 q + q$ e $0$ .

$- 3 q + 2 q + q$

Etapa 5.3

Some $- 3 q$ e $2 q$ .

$- q + q$

Etapa 5.4

Some $- q$ e $q$ .

$0$