Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Etapa 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Etapa 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Etapa 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 2

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $a + b$ por $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Combine os termos opostos em $a + b - a - c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $a$ de $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 2.2.2.2

Some $b$ e $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 3

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $a + b$ por $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $a + b - b - c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $b$ de $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 3.2.2.2

Some $a$ e $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $a + c$ por $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Etapa 4.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Etapa 4.2.2

Combine os termos opostos em $a + c - b - c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $c$ de $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Etapa 4.2.2.2

Some $a - b$ e $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Etapa 5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Etapa 5.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $a$ por $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Etapa 5.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Etapa 5.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Etapa 5.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Etapa 5.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Etapa 5.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Etapa 5.1.8.2

Multiplique $c$ por $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- a b$ e $b a$ .

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Etapa 5.2.2

Some $- a b$ e $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Etapa 5.2.3

Some $a c$ e $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Etapa 5.2.4

Reorganize os fatores nos termos $a c$ e $- c a$ .

$a c - b c - a c + c b$

Etapa 5.2.5

Subtraia $a c$ de $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Etapa 5.2.6

Some $- b c$ e $0$ .

$- b c + c b$

Etapa 5.2.7

Reorganize os fatores nos termos $- b c$ e $c b$ .

$- b c + b c$

Etapa 5.2.8

Some $- b c$ e $b c$ .

$0$