Álgebra linear Exemplos

det $[\begin{array}{c} 5 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 \\ 9 & 4 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 1.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.9

Adicione os termos juntos.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 2

Avalie $| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (7 \cdot 2 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$5 (14 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Subtraia $32$ de $14$ .

$5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 3

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (1 \cdot 2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 9$ por $8$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 3.2.2

Subtraia $72$ de $2$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$ .

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Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (1 \cdot 4 - 9 \cdot 7)$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 9 \cdot 7)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 9$ por $7$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)$

Etapa 4.2.2

Subtraia $63$ de $4$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $5$ por $- 18$ .

$- 90 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 70$ .

$- 90 + 210 + 5 \cdot - 59$

Etapa 5.1.3

Multiplique $5$ por $- 59$ .

$- 90 + 210 - 295$

Etapa 5.2

Some $- 90$ e $210$ .

$120 - 295$

Etapa 5.3

Subtraia $295$ de $120$ .

$- 175$