Álgebra linear Exemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2.2

Divida $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2.3

Divida $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 \cdot 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 2.6

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.6.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.7

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.7.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 2.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{4}$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Etapa 5

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} \end{array}]$