Álgebra linear Exemplos

$3^{2} a + 3 b + c = 4$ , $5^{2} a + 5 b + c = 4$ , $2^{2} a + 2 b + c = 1$

Etapa 1

Mova as variáveis para o lado esquerdo e todas as constantes para o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$5^{2} a + 5 b + c = 4$

$2^{2} a + 2 b + c = 1$

Etapa 1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$2^{2} a + 2 b + c = 1$

Etapa 1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

Etapa 2

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 9 & 3 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{9}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{9}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{3}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 - 25 \cdot 1 & 5 - 25 (\frac{1}{3}) & 1 - 25 (\frac{1}{9}) & 4 - 25 (\frac{4}{9}) \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{3}) & 1 - 4 (\frac{1}{9}) & 1 - 4 (\frac{4}{9}) \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Etapa 3.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{3}{10}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{3}{10}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ - \frac{3}{10} \cdot 0 & - \frac{3}{10} (- \frac{10}{3}) & - \frac{3}{10} (- \frac{16}{9}) & - \frac{3}{10} (- \frac{64}{9}) \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Etapa 3.5

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15} & - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{15} \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \end{array}]$

Etapa 3.6

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $5$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 3.6.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $5$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 3.7

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.7.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 - \frac{8}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{15} \cdot 0 & \frac{8}{15} - \frac{8}{15} \cdot 1 & \frac{32}{15} - \frac{8}{15} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 3.7.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 3.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 3.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 3.9

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.9.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 3.9.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Etapa 4

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 11$

Etapa 5

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- 1, 8, - 11)$