Álgebra linear Exemplos

$10 x + 2 y = 6$ , $- 25 x + k y = - 14$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & 2 & 6 \\ y & - 25 & 0 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & - 25 & 0 & - 14 \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{- 25}{y} & \frac{0}{y} & \frac{- 14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{2}{10} & \frac{6}{10} \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Etapa 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Etapa 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{y} \cdot 0 & - \frac{25}{y} + \frac{25}{y} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{y} \cdot \frac{1}{5} & - \frac{14}{y} + \frac{25}{y} \cdot \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{y} & \frac{1}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$k + \frac{5 y}{y} = \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Etapa 4

Resolva a equação para $k$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $\frac{1}{y}$ dos dois lados da equação.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $5$ por $1$ .

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $k$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$k - \frac{1}{y} = - 5$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Etapa 4.2.2

Some $\frac{1}{y}$ aos dois lados da equação.

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Etapa 5

Subtraia $\frac{y}{5}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{3}{5} - \frac{y}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

Etapa 6

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- 5 + \frac{1}{y}, \frac{3}{5} - \frac{y}{5}, y)$

Etapa 7

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 + \frac{1}{y} \\ \frac{3}{5} - \frac{y}{5} \\ y \end{array}]$