Álgebra linear Exemplos

$\frac{x + y}{7} = \frac{y + 4}{5}$ , $\frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}$ , $\frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{y + 4}{5}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x + y}{7} - \frac{y + 4}{5} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{x + y}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x + y}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y + 4}{5} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.3

Para escrever $- \frac{y + 4}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x + y}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $35$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{x + y}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $\frac{y + 4}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{(y + 4) \cdot 7}{5 \cdot 7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.4.4

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{(y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + y) \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 5 + y \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{5 \cdot x + y \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.3

Mova $5$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{5 \cdot x + 5 \cdot y - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $5$ por $y$ .

$\frac{5 x + 5 y - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x + 5 y + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{5 x + 5 y + (- y - 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x + 5 y - y \cdot 7 - 4 \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.8

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{5 x + 5 y - 7 y - 4 \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.9

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$\frac{5 x + 5 y - 7 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 1.6.10

Subtraia $7 y$ de $5 y$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $\frac{y - 4}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} - \frac{y - 4}{2} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{x - z}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y - 4}{2} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.3

Para escrever $- \frac{y - 4}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{x - z}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $\frac{y - 4}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{(y - 4) \cdot 5}{2 \cdot 5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{(y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x \cdot 2 - z \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 \cdot x - z \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 \cdot x - 2 z - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z + (- y - - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z + (- y + 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - y \cdot 5 + 4 \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 4 \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 2.6.8

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{x + 2}{10}$ dos dois lados da equação.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} - \frac{x + 2}{10} = 0$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{y - z}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x + 2}{10} = 0$

Etapa 3.3

Para escrever $- \frac{x + 2}{10}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $30$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{y - z}{3}$ por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Etapa 3.4.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{x + 2}{10}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{(x + 2) \cdot 3}{10 \cdot 3} = 0$

Etapa 3.4.4

Multiplique $10$ por $3$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{(x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y \cdot 10 - z \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.2

Mova $10$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 \cdot y - z \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 \cdot y - 10 z - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z + (- x - 1 \cdot 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z + (- x - 2) \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - x \cdot 3 - 2 \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - 3 x - 2 \cdot 3}{30} = 0$

Etapa 3.6.8

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - 3 x - 6}{30} = 0$

Etapa 4

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{35} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $35$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Etapa 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $35$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 35 (\frac{1}{35}) & 35 \cdot 0 & 35 \cdot 0 & 35 \cdot 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{10} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Etapa 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{10} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $30$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $30$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 30 \cdot 0 & 30 (\frac{1}{30}) & 30 \cdot 0 & 30 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 6

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = 0$

$y = 0$

Etapa 7

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(0, 0, z)$

Etapa 8

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$