Álgebra linear Exemplos

$\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} + \frac{z}{2} = 0$ ,

$\frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6$ ,

$\frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para escrever

$- \frac{y + 6}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique

$\frac{y + 6}{3}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 2}{6} - \frac{(y + 6) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.2.2

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$\frac{x + 2}{6} - \frac{(y + 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 2 - (y + 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 + (- y - 1 \cdot 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.4.2

Multiplique

$- 1$ por

$6$ .

$\frac{x + 2 + (- y - 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 - y \cdot 2 - 6 \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.4.4

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$\frac{x + 2 - 2 y - 6 \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.4.5

Multiplique

$- 6$ por

$2$ .

$\frac{x + 2 - 2 y - 12}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.4.6

Subtraia

$12$ de

$2$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.5

Para escrever

$\frac{z}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z}{2} \cdot \frac{3}{3} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

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Etapa 1.6.1

Multiplique

$\frac{z}{2}$ por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z \cdot 3}{2 \cdot 3} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.6.2

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z \cdot 3}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 y - 10 + z \cdot 3}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 1.8

Mova

$3$ para a esquerda de

$z$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + 1 + y - 1}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em

$x + 1 + y - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia

$1$ de

$1$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y + 0}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.2.2

Some

$x + y$ e

$0$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.4

Para escrever

$\frac{x + y}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

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Etapa 2.5.1

Multiplique

$\frac{x + y}{2}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.5.2

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2}{4} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x \cdot 2 + y \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.7.2

Mova

$2$ para a esquerda de

$x$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 \cdot x + y \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.7.3

Mova

$2$ para a esquerda de

$y$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 \cdot x + 2 \cdot y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 2.7.4

Multiplique

$2$ por

$y$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Para escrever

$\frac{x - 5}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.2

Para escrever

$\frac{y + 1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique

$\frac{x - 5}{4}$ por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.3.2

Multiplique

$4$ por

$3$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.3.3

Multiplique

$\frac{y + 1}{3}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{(y + 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.3.4

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{(y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5.2

Mova

$3$ para a esquerda de

$x$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 \cdot x - 5 \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5.3

Multiplique

$- 5$ por

$3$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 \cdot x - 15 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5.5

Mova

$4$ para a esquerda de

$y$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + 4 \cdot y + 1 \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5.6

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + 4 \cdot y + 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.5.7

Some

$- 15$ e

$4$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.6

Para escrever

$\frac{z - 2}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{z - 2}{2} \cdot \frac{6}{6} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

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Etapa 3.7.1

Multiplique

$\frac{z - 2}{2}$ por

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{(z - 2) \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.7.2

Multiplique

$2$ por

$6$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{(z - 2) \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + (z - 2) \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + z \cdot 6 - 2 \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.9.2

Mova

$6$ para a esquerda de

$z$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + 6 \cdot z - 2 \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.9.3

Multiplique

$- 2$ por

$6$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + 6 \cdot z - 12}{12} = \frac{83}{12}$

Etapa 3.9.4

Subtraia

$12$ de

$- 11$ .

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y + 6 z - 23}{12} = \frac{83}{12}$

Etapa 4

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$6$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$6$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 6 (\frac{1}{6}) & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 6 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{12} R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{12} R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{12} \cdot 0 & \frac{83}{12} - \frac{1}{12} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Simplifique

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{6}$ to make the entry at

$2, 4$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{6}$ to make the entry at

$2, 4$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{6}{6} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.4.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

Etapa 5.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{83}{12} R_{2}$ to make the entry at

$3, 4$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{83}{12} R_{2}$ to make the entry at

$3, 4$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & \frac{83}{12} - \frac{83}{12} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.5.2

Simplifique

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 6

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = 0$

$0 = 1$

Etapa 7

Como

$0 \neq 1$ , não há soluções.

Nenhuma solução