Álgebra linear Exemplos

$x + 2 y - 4 z = 4$ , $- 3 x - 6 y + 12 z = - 12$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 & - 6 & 12 & - 12 \end{array}]$

Etapa 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 12 + 3 \cdot - 4 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Etapa 2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x + 2 y - 4 z = 4$

Etapa 4

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 y - 4 z = 4 - x$

Etapa 4.1.2

Some $4 z$ aos dois lados da equação.

$2 y = 4 - x + 4 z$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $2 y = 4 - x + 4 z$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $2 y = 4 - x + 4 z$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Divida $4$ por $2$ .

$y = 2 + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Etapa 4.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Etapa 4.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.3.1

Fatore $2$ de $4 z$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2}$

Etapa 4.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 (1)}$

Etapa 4.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 z}{1}$

Etapa 4.2.3.1.3.2.4

Divida $2 z$ por $1$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + 2 z$

Etapa 5

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(x, 2 - \frac{x}{2} + 2 z, z)$

Etapa 6

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 - \frac{x}{2} + 2 z \\ z \end{array}]$