Álgebra linear Exemplos

$x + 2 y = 3$ , $2 x + k y = 2$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{2}{y} & \frac{0}{y} & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{y} & 0 & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{y} \cdot 0 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{y} \cdot 2 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{y} & - \frac{4}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$k - \frac{4 y}{y} = - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Etapa 4

Resolva a equação para $k$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Some $\frac{4}{y}$ aos dois lados da equação.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Etapa 4.1.2.1.2

Divida $4$ por $1$ .

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $k$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$k + \frac{4}{y} = 4$

$x + 2 y = 3$

Etapa 4.2.2

Subtraia $\frac{4}{y}$ dos dois lados da equação.

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Etapa 5

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$x = 3 - 2 y$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

Etapa 6

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(4 - \frac{4}{y}, 3 - 2 y, y)$

Etapa 7

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - \frac{4}{y} \\ 3 - 2 y \\ y \end{array}]$