Álgebra linear Exemplos

$a - 4 b + 2 d + 3 g = 5$ , $2 a - 7 b + 4 d + g = 9$ , $a - 3 b + 2 d - 2 g = 4$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & - 7 & 4 & 1 & 9 \\ 1 & - 3 & 2 & - 2 & 4 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Etapa 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 7 - 2 \cdot - 4 & 4 - 2 \cdot 2 & 1 - 2 \cdot 3 & 9 - 2 \cdot 5 \\ 1 & - 3 & 2 & - 2 & 4 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 1 & - 3 & 2 & - 2 & 4 \end{array}]$

Etapa 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Etapa 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 1 - 1 & - 3 + 4 & 2 - 2 & - 2 - 3 & 4 - 5 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \end{array}]$

Etapa 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Etapa 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 5 + 5 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Etapa 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 \cdot 0 & 3 + 4 \cdot - 5 & 5 + 4 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 17 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$a + 2 d - 17 g = 1$

$b - 5 g = - 1$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $2 d$ dos dois lados da equação.

$a - 17 g = 1 - 2 d$

$b - 5 g = - 1$

Etapa 4.2

Some $17 g$ aos dois lados da equação.

$a = 1 - 2 d + 17 g$

$b - 5 g = - 1$

$a = 1 - 2 d + 17 g$

$b - 5 g = - 1$

Etapa 5

Some $5 g$ aos dois lados da equação.

$b = - 1 + 5 g$

$a = 1 - 2 d + 17 g$

Etapa 6

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(1 - 2 d + 17 g, - 1 + 5 g, d, g)$

Etapa 7

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ g \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 2 d + 17 g \\ - 1 + 5 g \\ d \\ g \end{array}]$