Álgebra linear Exemplos

$y = \frac{3}{4} x - 3$ , $y = - \frac{2}{5} x + 1$

Etapa 1

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 3, y = - \frac{2}{5} x + 1$

Etapa 2

Subtraia $\frac{3 x}{4}$ dos dois lados da equação.

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y = - \frac{2}{5} x + 1$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Combine $x$ e $\frac{2}{5}$ .

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 1$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y = - \frac{2 x}{5} + 1$

Etapa 4

Some $\frac{2 x}{5}$ aos dois lados da equação.

$y - \frac{3 x}{4} = - 3, y + \frac{2 x}{5} = 1$

Etapa 5

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} & 1 & - 3 \\ \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{4}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Etapa 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{4}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{4}) & - \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} \cdot - 3 \\ \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Etapa 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1 & 1 - \frac{2}{5} (- \frac{4}{3}) & 1 - \frac{2}{5} \cdot 4 \end{array}]$

Etapa 6.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ 0 & \frac{23}{15} & - \frac{3}{5} \end{array}]$

Etapa 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{15}{23}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{15}{23}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ \frac{15}{23} \cdot 0 & \frac{15}{23} \cdot \frac{23}{15} & \frac{15}{23} (- \frac{3}{5}) \end{array}]$

Etapa 6.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{9}{23} \end{array}]$

Etapa 6.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Etapa 6.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 4 + \frac{4}{3} (- \frac{9}{23}) \\ 0 & 1 & - \frac{9}{23} \end{array}]$

Etapa 6.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{80}{23} \\ 0 & 1 & - \frac{9}{23} \end{array}]$

Etapa 7

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = \frac{80}{23}$

$y = - \frac{9}{23}$

Etapa 8

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(\frac{80}{23}, - \frac{9}{23})$

Etapa 9

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{80}{23} \\ - \frac{9}{23} \end{array}]$