Álgebra linear Exemplos

$- y - z = 0$ , $2 y + 2 z = 0$ , $- x + y + 2 z = 0$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ - 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 2 & - 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x - z = 0$

$y + z = 0$

Etapa 4

Some $z$ aos dois lados da equação.

$x = z$

$y + z = 0$

Etapa 5

Subtraia $z$ dos dois lados da equação.

$y = - z$

$x = z$

Etapa 6

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(z, - z, z)$

Etapa 7

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ - z \\ z \end{array}]$