Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Etapa 1

Multiplique $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Etapa 1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Etapa 1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Etapa 2

A equação da matriz pode ser escrita como um conjunto de equações.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 3

Some $y$ aos dois lados da equação.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $z$ por $8 + y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $2 x + 2 y - 5 z = 15$ por $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $5 y$ de $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $- x - y + 3 z = 23$ por $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 4.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Simplifique $- x - y + 3 (8 + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 4.4.1.1.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 4.4.1.2

Some $- y$ e $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Etapa 5

Reordene $8$ e $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 6

Resolva $y$ em $z = y + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 6.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $z - 8$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $- x + 2 y + 24 = 23$ por $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 7.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 7.2.1.2

Some $- 16$ e $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $2 x - 3 y - 40 = 15$ por $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 7.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Simplifique $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 7.4.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 7.4.1.2

Subtraia $40$ de $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 8

Resolva $x$ em $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Some $3 z$ aos dois lados da equação.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 8.1.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 8.1.3

Some $15$ e $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $2 x = 3 z + 31$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3 z + 31$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $- x + 2 z + 8 = 23$ por $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.2

Para escrever $2 z$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.3

Combine $2 z$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.7

Some $- 3 z$ e $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.8

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.9

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.9.1

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.10.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 9.2.1.10.2

Subtraia $31$ de $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 10

Resolva $z$ em $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 10.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 10.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Multiplique $2$ por $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 10.3

Mova todos os termos que não contêm $z$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 10.3.2

Some $46$ e $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $z$ por $61$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ por $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 11.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Multiplique $3$ por $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 11.2.1.2.2

Some $183$ e $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 11.2.1.2.3

Divida $214$ por $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Etapa 11.3

Substitua todas as ocorrências de $z$ em $y = z - 8$ por $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Etapa 11.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Subtraia $8$ de $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$y = 53, x = 107, z = 61$