Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Etapa 1

Multiplique $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $4 \times 4$ and the second matrix is $4 \times 1$ .

Etapa 1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 0 v + 0 z \\ 0 x + 0 y + 1 v + 1 z \\ 1 x + 0 y + 1 v + 0 z \\ 0 x + 1 y + 0 v + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Etapa 1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

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Etapa 1.3.1

Some $0$ e $y$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Etapa 1.3.2

Some $y$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Etapa 2

A equação da matriz pode ser escrita como um conjunto de equações.

$x + y = 110$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Etapa 3

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $110 - y$ em cada equação.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x + v = 140$ por $110 - y$ .

$(110 - y) + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Remova os parênteses.

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $v$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $110$ dos dois lados da equação.

$- y + v = 140 - 110$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Etapa 5.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$v = 140 - 110 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Etapa 5.3

Subtraia $110$ de $140$ .

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $30 + y$ em cada equação.

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Etapa 6.1

Substitua todas as ocorrências de $v$ em $v + z = 160$ por $30 + y$ .

$(30 + y) + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $30$ dos dois lados da equação.

$y + z = 160 - 30$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 7.2

Subtraia $z$ dos dois lados da equação.

$y = 160 - 30 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 7.3

Subtraia $30$ de $160$ .

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $130 - z$ em cada equação.

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Etapa 8.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $v = 30 + y$ por $130 - z$ .

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 8.2

Simplifique $v = 30 + 130 - z$ .

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Remova os parênteses.

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $30$ e $130$ .

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 110 - y$ por $130 - z$ .

$x = 110 - (130 - z)$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique $110 - (130 - z)$ .

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Etapa 8.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 110 - 1 \cdot 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Etapa 8.4.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $130$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Etapa 8.4.1.1.3

Multiplique $- - z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 110 - 130 + 1 z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Etapa 8.4.1.1.3.2

Multiplique $z$ por $1$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Etapa 8.4.1.2

Subtraia $130$ de $110$ .

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Etapa 8.5

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $y + z = 130$ por $130 - z$ .

$(130 - z) + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Etapa 8.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.6.1

Combine os termos opostos em $(130 - z) + z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Some $- z$ e $z$ .

$130 + 0 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Etapa 8.6.1.2

Some $130$ e $0$ .

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Etapa 9

Remova todas as equações do sistema que sejam sempre verdadeiras.

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$