Álgebra linear Exemplos

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{4}{z} = 1$ , $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{8}{z} = 0$ , $- \frac{1}{x} + \frac{9}{y} + \frac{10}{z} = 5$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Divida $1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.2

Divida $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.3

Divida $4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \cdot 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.5

Divida $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.6

Divida $3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.7

Divida $8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.8

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.8.2

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 \cdot 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.10

Divida $9$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Etapa 2.11

Divida $10$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

Etapa 2.12

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.12.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & 8 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 1 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

Etapa 2.12.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

Etapa 2.13

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.13.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 9 + 1 \cdot 2 & 10 - 4 & 5 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 2.13.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.14

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.14.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 16 & - - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.14.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

Etapa 2.15

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.15.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 & 6 - 11 \cdot - 16 & 6 - 11 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 2.15.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 182 & - 16 \end{array}]$

Etapa 2.16

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{182}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 2.16.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{182}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ \frac{0}{182} & \frac{0}{182} & \frac{182}{182} & \frac{- 16}{182} \end{array}]$

Etapa 2.16.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 2.17

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.17.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 + 16 \cdot 0 & 1 + 16 \cdot 0 & - 16 + 16 \cdot 1 & 2 + 16 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 2.17.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 2.18

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.18.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & 2 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 2.18.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{59}{91} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 2.19

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.19.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{59}{91} - 2 (\frac{54}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 2.19.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{7}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = - \frac{7}{13}$

$y = \frac{54}{91}$

$z = - \frac{8}{91}$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- \frac{7}{13}, \frac{54}{91}, - \frac{8}{91})$

Etapa 5

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{7}{13} \\ \frac{54}{91} \\ - \frac{8}{91} \end{array}]$