Álgebra linear Exemplos

$4 a x - 3 y = 7$ , $- x - b y = 8$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - 1 y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4 x}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 2.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4 x}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 x}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{- 3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{y}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{y}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} (- y) & - \frac{1}{y} \cdot - 1 & - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & 1 & \frac{1}{y} & 0 & - \frac{8}{y} \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$a - \frac{3 y}{4 x} = \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Etapa 4

Resolva a equação para $a$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $\frac{7}{4 x}$ dos dois lados da equação.

$a - \frac{3 y}{4 x} - \frac{7}{4 x} = 0$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Some $\frac{3 y}{4 x}$ aos dois lados da equação.

$a - \frac{7}{4 x} = \frac{3 y}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Etapa 4.2.2

Some $\frac{7}{4 x}$ aos dois lados da equação.

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Etapa 5

Resolva a equação para $b$ .

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Etapa 5.1

Some $\frac{8}{y}$ aos dois lados da equação.

$b + \frac{x}{y} + \frac{8}{y} = 0$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $\frac{x}{y}$ dos dois lados da equação.

$b + \frac{8}{y} = - \frac{x}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $\frac{8}{y}$ dos dois lados da equação.

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Etapa 6

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(\frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}, - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}, x, y)$

Etapa 7

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x} \\ - \frac{x}{y} - \frac{8}{y} \\ x \\ y \end{array}]$