Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

Etapa 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Etapa 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Etapa 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Etapa 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Etapa 2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ .

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3

Avalie $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Expanda $(2 - x) (- 1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.2.2

Some $- 2 x$ e $x$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 1 - x$ por $1$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

Etapa 4.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ e $0$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Expanda $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $- x$ por $1$ .

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.5.1

Mova $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.8

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.1

Mova $x^{2}$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.8.3

Some $2$ e $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.2.9

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.3

Some $- x$ e $3 x$ .

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.4

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- x + 1$ por $1$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

Etapa 5.3

Some $- 3$ e $1$ .

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

Etapa 5.4

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$