Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 3 + 4 i \\ 4 + 4 i \\ 2 + 2 i \\ 4 - 2 i \end{array}]$

Etapa 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 3 + 4 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 16}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $9$ e $16$ .

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{5^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.7

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.8

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.9

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.10

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.11

Some $16$ e $16$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.12

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sqrt{25 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.14

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.15

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.16

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.16.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.16.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.16.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.16.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.16.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.17

Multiplique $16$ por $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.18

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.19

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.20

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.21

Some $4$ e $4$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.22

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.22.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.23

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sqrt{25 + 32 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.24

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.25

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.26

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.26.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.26.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.26.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.26.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.26.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.26.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.26.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.27

Multiplique $4$ por $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Etapa 2.28

Use a fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.29

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.30

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + 4}}^{2}}$

Etapa 2.31

Some $16$ e $4$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{20}}^{2}}$

Etapa 2.32

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.32.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4 (5)}}^{2}}$

Etapa 2.32.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2}}$

Etapa 2.33

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 2.34

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.35

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.36

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.36.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.36.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.36.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.36.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.36.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.36.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{1}}$

Etapa 2.36.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5}$

Etapa 2.37

Multiplique $4$ por $5$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 20}$

Etapa 2.38

Some $25$ e $32$ .

$\sqrt{57 + 8 + 20}$

Etapa 2.39

Some $57$ e $8$ .

$\sqrt{65 + 20}$

Etapa 2.40

Some $65$ e $20$ .

$\sqrt{85}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{85}$

Forma decimal:

$9.21954445 \dots$