Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - 1 i 4 - 2 i 2 + 2 i 3 - 3 i \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 - 1 i \\ 4 - 2 i \\ 2 + 2 i \\ 3 - 3 i \end{array}]$

Etapa 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

\sqrt{{| 4 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 4 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva

- 1 i

$- 1 i$ como

- i

$- i$ .

\sqrt{{| 4 - i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 4 - i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.2

Use a fórmula

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

\sqrt{{\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve

4

$4$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{16 + 1}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{16 + 1}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.5

Some

16

$16$ e

1

$1$ .

\sqrt{{\sqrt{17}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{17}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6

Reescreva

{\sqrt{17}}^{2}

${\sqrt{17}}^{2}$ como

17

$17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{17}$ como

$17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{17^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{17 + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.7

Use a fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{17 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.8

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.9

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.10

Some

$16$ e

$4$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.11

Reescreva

$20$ como

$2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Fatore

$4$ de

$20$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.11.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sqrt{17 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.13

Aplique a regra do produto a

$2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{17 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.14

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.15.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.16

Multiplique

$4$ por

$5$ .

$\sqrt{17 + 20 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.17

Use a fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.18

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.19

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.20

Some

$4$ e

$4$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.21

Reescreva

$8$ como

$2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1

Fatore

$4$ de

$8$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.21.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.22

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sqrt{17 + 20 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.23

Aplique a regra do produto a

$2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.24

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.25

Reescreva

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.25.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.25.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.25.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.25.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.25.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.25.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{1} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.25.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2 + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.26

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Etapa 2.27

Use a fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para encontrar a magnitude.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.28

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.29

Eleve

$- 3$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 + 9}}^{2}}$

Etapa 2.30

Some

$9$ e

$9$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{18}}^{2}}$

Etapa 2.31

Reescreva

$18$ como

$3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1

Fatore

$9$ de

$18$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 (2)}}^{2}}$

Etapa 2.31.2

Reescreva

$9$ como

$3^{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{3^{2} \cdot 2}}^{2}}$

Etapa 2.32

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {(3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 2.33

Aplique a regra do produto a

$3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.34

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.35

Reescreva

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.35.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.35.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.35.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.35.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.35.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.35.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{1}}$

Etapa 2.35.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2}$

Etapa 2.36

Multiplique

$9$ por

$2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 18}$

Etapa 2.37

Some

$17$ e

$20$ .

$\sqrt{37 + 8 + 18}$

Etapa 2.38

Some

$37$ e

$8$ .

$\sqrt{45 + 18}$

Etapa 2.39

Some

$45$ e

$18$ .

$\sqrt{63}$

Etapa 2.40

Reescreva

$63$ como

$3^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.40.1

Fatore

$9$ de

$63$ .

$\sqrt{9 (7)}$

Etapa 2.40.2

Reescreva

$9$ como

$3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Etapa 2.41

Elimine os termos abaixo do radical.

$3 \sqrt{7}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$3 \sqrt{7}$

Forma decimal:

$7.93725393 \dots$