Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(3 - λ) (- 4 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 3 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$p (λ) = - 12 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.2.2

Some $- 3 λ$ e $4 λ$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - - 8$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} + 8$

Etapa 5.2.2

Some $- 12$ e $8$ .

$p (λ) = λ + λ^{2} - 4$

Etapa 5.2.3

Reordene $λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + λ - 4$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} + λ - 4 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Some $1$ e $16$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Forma decimal:

$λ = 1.56155281 \dots, - 2.56155281 \dots$