Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} | + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 1.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) ((7 - λ) (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Expanda $(7 - λ) (- 8 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 (- 8 - λ) - λ (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 \cdot - 8 + 7 (- λ) - λ (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 \cdot - 8 + 7 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $7$ por $- 8$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + 7 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.2

Some $- 7 λ$ e $8 λ$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + λ + λ^{2} - 16) + 0$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $16$ de $- 56$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (λ + λ^{2} - 72) + 0$

Etapa 1.5.4.2.3

Reordene $λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$

Etapa 1.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Combine os termos opostos em $0 + (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1.1

Some $0$ e $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ .

$p (λ) = (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$

Etapa 1.5.5.1.2

Some $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ e $0$ .

$p (λ) = (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$

Etapa 1.5.5.2

Expanda $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ + 10 \cdot - 72 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1

Multiplique $10$ por $- 72$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.2

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.2.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - (λ^{2} λ) - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.2.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.2.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{2 + 1} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.3

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.3.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - (λ \cdot λ) - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.3.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ^{2} - λ \cdot - 72$

Etapa 1.5.5.3.4

Multiplique $- 72$ por $- 1$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ^{2} + 72 λ$

Etapa 1.5.5.4

Subtraia $λ^{2}$ de $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} + 72 λ$

Etapa 1.5.5.5

Some $10 λ$ e $72 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} + 82 λ - 720 - λ^{3}$

Etapa 1.5.5.6

Mova $- 720$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} + 82 λ - λ^{3} - 720$

Etapa 1.5.5.7

Mova $82 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} + 82 λ - 720$

Etapa 1.5.5.8

Reordene $9 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 720, \pm 2, \pm 360, \pm 3, \pm 240, \pm 4, \pm 180, \pm 5, \pm 144, \pm 6, \pm 120, \pm 8, \pm 90, \pm 9, \pm 80, \pm 10, \pm 72, \pm 12, \pm 60, \pm 15, \pm 48, \pm 16, \pm 45, \pm 18, \pm 40, \pm 20, \pm 36, \pm 24, \pm 30$

$q = \pm 1$

Etapa 1.7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 720, \pm 2, \pm 360, \pm 3, \pm 240, \pm 4, \pm 180, \pm 5, \pm 144, \pm 6, \pm 120, \pm 8, \pm 90, \pm 9, \pm 80, \pm 10, \pm 72, \pm 12, \pm 60, \pm 15, \pm 48, \pm 16, \pm 45, \pm 18, \pm 40, \pm 20, \pm 36, \pm 24, \pm 30$

Etapa 1.7.1.1.3

Substitua $8$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $8$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.3.1

Substitua $8$ no polinômio.

$- 8^{3} + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $512$ .

$- 512 + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- 512 + 9 \cdot 64 + 82 \cdot 8 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.5

Multiplique $9$ por $64$ .

$- 512 + 576 + 82 \cdot 8 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.6

Some $- 512$ e $576$ .

$64 + 82 \cdot 8 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.7

Multiplique $82$ por $8$ .

$64 + 656 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.8

Some $64$ e $656$ .

$720 - 720$

Etapa 1.7.1.1.3.9

Subtraia $720$ de $720$ .

$0$

Etapa 1.7.1.1.4

Como $8$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 8$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720}{λ - 8}$

Etapa 1.7.1.1.5

Divida $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ por $λ - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$8$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$82 λ$

$720$

Etapa 1.7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$

Etapa 1.7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- λ^{3} + 8 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$8 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $λ^{2} - 8 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$

Etapa 1.7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $90 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$

Etapa 1.7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							+	$90 λ$	-	$720$

Etapa 1.7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $90 λ - 720$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							-	$90 λ$	+	$720$

Etapa 1.7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							-	$90 λ$	+	$720$
										$0$

Etapa 1.7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- λ^{2} + λ + 90$

Etapa 1.7.1.1.6

Escreva $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 8) (- λ^{2} + λ + 90) = 0$

Etapa 1.7.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 90 = - 90$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$(λ - 8) (- λ^{2} + 1 λ + 90) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 9$ mais $10$

$(λ - 8) (- λ^{2} + (- 9 + 10) λ + 90) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(λ - 8) (- λ^{2} - 9 λ + 10 λ + 90) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(λ - 8) ((- λ^{2} - 9 λ) + 10 λ + 90) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(λ - 8) (λ (- λ - 9) - 10 (- λ - 9)) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- λ - 9$ .

$(λ - 8) ((- λ - 9) (λ - 10)) = 0$

Etapa 1.7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ - 8) (- λ - 9) (λ - 10) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 8 = 0$

$- λ - 9 = 0$

$λ - 10 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $λ - 8$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina $λ - 8$ como igual a $0$ .

$λ - 8 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$λ = 8$

Etapa 1.7.4

Defina $- λ - 9$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $- λ - 9$ como igual a $0$ .

$- λ - 9 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Resolva $- λ - 9 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$- λ = 9$

Etapa 1.7.4.2.2

Divida cada termo em $- λ = 9$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.2.1

Divida cada termo em $- λ = 9$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Etapa 1.7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{9}{- 1}$

Etapa 1.7.4.2.2.2.2

Divida $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{9}{- 1}$

Etapa 1.7.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.2.3.1

Divida $9$ por $- 1$ .

$λ = - 9$

Etapa 1.7.5

Defina $λ - 10$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Defina $λ - 10$ como igual a $0$ .

$λ - 10 = 0$

Etapa 1.7.5.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$λ = 10$

Etapa 1.7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 8) (- λ - 9) (λ - 10) = 0$ verdadeiro.

$λ = 8, - 9, 10$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 8$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.6

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.7

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.8

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.9

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 7 - 8 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $8$ de $7$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.5

Subtraia $8$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.7

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.8

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9

Subtraia $8$ de $- 8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 4 & - 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & - 16 - 4 \cdot - 4 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 4 z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + 9 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $9$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $9$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $9$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $9$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6

Multiplique $9$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7

Multiplique $9$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8

Multiplique $9$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.9

Multiplique $9$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 7 + 9 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Some $7$ e $9$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Some $10$ e $9$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Some $- 8$ e $9$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{0}{16} & \frac{4}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 (\frac{1}{4}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{0}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{4} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{4} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 10$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.6

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.7

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.8

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.9

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 7 - 10 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Subtraia $10$ de $7$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.3

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.5

Subtraia $10$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.7

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.8

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.9

Subtraia $10$ de $- 8$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 \end{array}]$

Etapa 5.3

Find the null space when $λ = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 4 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & - 18 - 4 (- \frac{4}{3}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{38}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{38}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ - \frac{3}{38} \cdot 0 & - \frac{3}{38} \cdot 0 & - \frac{3}{38} (- \frac{38}{3}) & - \frac{3}{38} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Etapa 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Etapa 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$