Álgebra linear Exemplos

$x - [\begin{array}{c} 0 & 1 & 5 & - 6 \\ 5 & 8 & 7 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 6 \\ - 8 & - 4 & - 2 & - 3 \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{2}$ para $ℝ^{2}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 1 \\ - 8 \end{array}]$

Etapa 6

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 7

Como a propriedade de adição da transformação não se sustenta, esta transformação não é linear.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$