Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda $(8 - λ) (2 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia $2 λ$ de $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique $- (- 3 \cdot 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

Etapa 1.5.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

Etapa 1.5.2.2

Some $16$ e $18$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

Etapa 1.5.2.3

Reordene $- 10 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 10$ e $c = 34$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $34$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.3

Subtraia $136$ de $100$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.4

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.1.9

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Etapa 1.7.3.3

Simplifique $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$λ = 5 \pm 3 i$

Etapa 1.7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 5 - 3 i$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $- 5 - 3 i$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $- 5 - 3 i$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.5.3

Multiplique $- 5 - 3 i$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.5.4

Multiplique $- 5 - 3 i$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $5$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some $6$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Subtraia $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 5 + 3 i$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.5

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.5.1

Multiplique $- 5 + 3 i$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.5.2

Multiplique $- 5 + 3 i$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.5.3

Multiplique $- 5 + 3 i$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.5.4

Multiplique $- 5 + 3 i$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $5$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $6$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Subtraia $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$