Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 2 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (3 - λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda $(5 - λ) (3 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 5 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 5 \cdot 3 + 5 (- λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 5 \cdot 3 + 5 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$p (λ) = 15 + 5 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia $3 λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} - 2 \cdot 0$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} + 0$

Etapa 1.5.2.2

Some $15 - 8 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2}$

Etapa 1.5.2.3

Mova $15$ .

$p (λ) = - 8 λ + λ^{2} + 15$

Etapa 1.5.2.4

Reordene $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 8 λ + 15 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore $λ^{2} - 8 λ + 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 5, - 3$

Etapa 1.7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(λ - 5) (λ - 3) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

$λ - 3 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$

Etapa 1.7.4

Defina $λ - 3$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $λ - 3$ como igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$λ = 3$

Etapa 1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 5) (λ - 3) = 0$ verdadeiro.

$λ = 5, 3$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 5$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 5 - 5 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 2 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 2 & 3 - 5 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Subtraia $5$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 2 & - 2 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 3$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $3$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$