Álgebra linear Exemplos

Encontre os Autovetores/Autoespaço [[-2,-1,-1],[-2,-3,-2],[2,2,1]]
Etapa 1
Encontre os autovalores.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica .
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho é a matriz quadrada com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Substitua por .
Etapa 1.3.2
Substitua por .
Etapa 1.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 1.4.3
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.3.1
Some e .
Etapa 1.4.3.2
Some e .
Etapa 1.4.3.3
Some e .
Etapa 1.4.3.4
Some e .
Etapa 1.4.3.5
Some e .
Etapa 1.4.3.6
Some e .
Etapa 1.5
Find the determinant.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Etapa 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Etapa 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.9
Add the terms together.
Etapa 1.5.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.2.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.2.1.1
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.2.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.2.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.2.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.5
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.5.1
Mova .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.7
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.2
Subtraia de .
Etapa 1.5.2.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.2
Some e .
Etapa 1.5.2.2.3
Reordene e .
Etapa 1.5.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.3.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.3.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.3.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.3.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.5.3.2.2
Some e .
Etapa 1.5.4
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.4.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.4.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.4.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.2
Some e .
Etapa 1.5.4.2.3
Reordene e .
Etapa 1.5.5
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.5.1
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.5.1.1
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.1.2
Some e .
Etapa 1.5.5.2
Expanda multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.
Etapa 1.5.5.3
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.5.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.3
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.5.3.3.1
Mova .
Etapa 1.5.5.3.3.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.5.3.3.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.5.5.3.3.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.5.5.3.3.3
Some e .
Etapa 1.5.5.3.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.5.3.5
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.5.3.5.1
Mova .
Etapa 1.5.5.3.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.6
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.7
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.4
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.5
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.6
Mova .
Etapa 1.5.5.7
Mova .
Etapa 1.5.5.8
Reordene e .
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a para encontrar os autovalores .
Etapa 1.7
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.2
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.3
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.4
Reescreva como .
Etapa 1.7.1.1.5
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.6
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.7
Fatore de .
Etapa 1.7.1.2
Fatore usando o teste das raízes racionais.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.2.1
Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma , em que é um fator da constante e é um fator do coeficiente de maior ordem.
Etapa 1.7.1.2.2
Encontre todas as combinações de . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.
Etapa 1.7.1.2.3
Substitua e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a . Portanto, é uma raiz do polinômio.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.2.3.1
Substitua no polinômio.
Etapa 1.7.1.2.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.2.3.3
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.2.3.4
Multiplique por .
Etapa 1.7.1.2.3.5
Some e .
Etapa 1.7.1.2.3.6
Multiplique por .
Etapa 1.7.1.2.3.7
Subtraia de .
Etapa 1.7.1.2.3.8
Some e .
Etapa 1.7.1.2.4
Como é uma raiz conhecida, divida o polinômio por para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.
Etapa 1.7.1.2.5
Divida por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.2.5.1
Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de .
++++
Etapa 1.7.1.2.5.2
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
++++
Etapa 1.7.1.2.5.3
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
++++
++
Etapa 1.7.1.2.5.4
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
++++
--
Etapa 1.7.1.2.5.5
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
++++
--
+
Etapa 1.7.1.2.5.6
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
++++
--
++
Etapa 1.7.1.2.5.7
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
+
++++
--
++
Etapa 1.7.1.2.5.8
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
+
++++
--
++
++
Etapa 1.7.1.2.5.9
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
+
++++
--
++
--
Etapa 1.7.1.2.5.10
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
+
++++
--
++
--
+
Etapa 1.7.1.2.5.11
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
+
++++
--
++
--
++
Etapa 1.7.1.2.5.12
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
++
++++
--
++
--
++
Etapa 1.7.1.2.5.13
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
++
++++
--
++
--
++
++
Etapa 1.7.1.2.5.14
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
++
++++
--
++
--
++
--
Etapa 1.7.1.2.5.15
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
++
++++
--
++
--
++
--
Etapa 1.7.1.2.5.16
Já que o resto é , a resposta final é o quociente.
Etapa 1.7.1.2.6
Escreva como um conjunto de fatores.
Etapa 1.7.1.3
Fatore usando o método AC.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.3.1
Fatore usando o método AC.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.3.1.1
Considere a forma . Encontre um par de números inteiros cujo produto é e cuja soma é . Neste caso, cujo produto é e cuja soma é .
Etapa 1.7.1.3.1.2
Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.
Etapa 1.7.1.3.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 1.7.1.4
Fatore.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.4.1
Combine como fatores.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1.4.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.4.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.4.1.3
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.7.1.4.1.4
Some e .
Etapa 1.7.1.4.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 1.7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 1.7.3
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.3.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.3.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.3.2.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.3.2.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.7.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.4.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.4.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.7.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Etapa 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 3.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 3.2.2
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.1
Some e .
Etapa 3.2.2.2
Some e .
Etapa 3.2.2.3
Some e .
Etapa 3.2.2.4
Some e .
Etapa 3.2.2.5
Some e .
Etapa 3.2.2.6
Some e .
Etapa 3.2.2.7
Some e .
Etapa 3.2.2.8
Some e .
Etapa 3.2.2.9
Some e .
Etapa 3.3
Find the null space when .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 3.3.6
Write as a solution set.
Etapa 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 4.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.7
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.8
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 4.2.3
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.3.1
Some e .
Etapa 4.2.3.2
Some e .
Etapa 4.2.3.3
Some e .
Etapa 4.2.3.4
Some e .
Etapa 4.2.3.5
Some e .
Etapa 4.2.3.6
Some e .
Etapa 4.2.3.7
Some e .
Etapa 4.2.3.8
Some e .
Etapa 4.2.3.9
Some e .
Etapa 4.3
Find the null space when .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Etapa 4.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.4.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.5.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.6.2
Simplifique .
Etapa 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 4.3.6
Write as a solution set.
Etapa 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.