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Álgebra linear Exemplos
Etapa 1
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica .
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho é a matriz quadrada com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em .
Etapa 1.3.1
Substitua por .
Etapa 1.3.2
Substitua por .
Etapa 1.4
Simplifique.
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.4.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 1.4.3
Simplify each element.
Etapa 1.4.3.1
Some e .
Etapa 1.4.3.2
Some e .
Etapa 1.4.3.3
Some e .
Etapa 1.4.3.4
Some e .
Etapa 1.4.3.5
Some e .
Etapa 1.4.3.6
Some e .
Etapa 1.5
Find the determinant.
Etapa 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Etapa 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Etapa 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Etapa 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.9
Add the terms together.
Etapa 1.5.2
Avalie .
Etapa 1.5.2.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.2.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.2.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.2.2.1.1
Expanda usando o método FOIL.
Etapa 1.5.2.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.2.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.2.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.2.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 1.5.2.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.5
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.5.1
Mova .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.1.7
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.1.2.2
Subtraia de .
Etapa 1.5.2.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.2.2.2
Some e .
Etapa 1.5.2.2.3
Reordene e .
Etapa 1.5.3
Avalie .
Etapa 1.5.3.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.3.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.3.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.3.2.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.3.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.3.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.3.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.5.3.2.2
Some e .
Etapa 1.5.4
Avalie .
Etapa 1.5.4.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.4.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.2
Some e .
Etapa 1.5.4.2.3
Reordene e .
Etapa 1.5.5
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.5.1
Combine os termos opostos em .
Etapa 1.5.5.1.1
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.1.2
Some e .
Etapa 1.5.5.2
Expanda multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.
Etapa 1.5.5.3
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.5.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.3
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.3.3.1
Mova .
Etapa 1.5.5.3.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.3.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.5.5.3.3.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.5.5.3.3.3
Some e .
Etapa 1.5.5.3.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.5.3.5
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.3.5.1
Mova .
Etapa 1.5.5.3.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.6
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.7
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.4
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.5
Subtraia de .
Etapa 1.5.5.6
Mova .
Etapa 1.5.5.7
Mova .
Etapa 1.5.5.8
Reordene e .
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a para encontrar os autovalores .
Etapa 1.7
Resolva .
Etapa 1.7.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Etapa 1.7.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.2
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.3
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.4
Reescreva como .
Etapa 1.7.1.1.5
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.6
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1.7
Fatore de .
Etapa 1.7.1.2
Fatore usando o teste das raízes racionais.
Etapa 1.7.1.2.1
Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma , em que é um fator da constante e é um fator do coeficiente de maior ordem.
Etapa 1.7.1.2.2
Encontre todas as combinações de . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.
Etapa 1.7.1.2.3
Substitua e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a . Portanto, é uma raiz do polinômio.
Etapa 1.7.1.2.3.1
Substitua no polinômio.
Etapa 1.7.1.2.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.2.3.3
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.2.3.4
Multiplique por .
Etapa 1.7.1.2.3.5
Some e .
Etapa 1.7.1.2.3.6
Multiplique por .
Etapa 1.7.1.2.3.7
Subtraia de .
Etapa 1.7.1.2.3.8
Some e .
Etapa 1.7.1.2.4
Como é uma raiz conhecida, divida o polinômio por para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.
Etapa 1.7.1.2.5
Divida por .
Etapa 1.7.1.2.5.1
Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de .
+ | + | + | + |
Etapa 1.7.1.2.5.2
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
+ | + | + | + |
Etapa 1.7.1.2.5.3
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
+ | + | + | + | ||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.4
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
+ | + | + | + | ||||||||
- | - |
Etapa 1.7.1.2.5.5
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ |
Etapa 1.7.1.2.5.6
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.7
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
+ | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.8
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
+ | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.9
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
+ | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Etapa 1.7.1.2.5.10
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
+ | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ |
Etapa 1.7.1.2.5.11
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
+ | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.12
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
+ | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.13
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
+ | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Etapa 1.7.1.2.5.14
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
+ | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Etapa 1.7.1.2.5.15
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
+ | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
Etapa 1.7.1.2.5.16
Já que o resto é , a resposta final é o quociente.
Etapa 1.7.1.2.6
Escreva como um conjunto de fatores.
Etapa 1.7.1.3
Fatore usando o método AC.
Etapa 1.7.1.3.1
Fatore usando o método AC.
Etapa 1.7.1.3.1.1
Considere a forma . Encontre um par de números inteiros cujo produto é e cuja soma é . Neste caso, cujo produto é e cuja soma é .
Etapa 1.7.1.3.1.2
Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.
Etapa 1.7.1.3.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 1.7.1.4
Fatore.
Etapa 1.7.1.4.1
Combine como fatores.
Etapa 1.7.1.4.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.4.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 1.7.1.4.1.3
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.7.1.4.1.4
Some e .
Etapa 1.7.1.4.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 1.7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 1.7.3
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 1.7.3.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.3.2
Resolva para .
Etapa 1.7.3.2.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.3.2.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.7.4
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 1.7.4.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.4.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.7.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Etapa 3
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 3.2
Simplifique.
Etapa 3.2.1
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 3.2.2
Simplify each element.
Etapa 3.2.2.1
Some e .
Etapa 3.2.2.2
Some e .
Etapa 3.2.2.3
Some e .
Etapa 3.2.2.4
Some e .
Etapa 3.2.2.5
Some e .
Etapa 3.2.2.6
Some e .
Etapa 3.2.2.7
Some e .
Etapa 3.2.2.8
Some e .
Etapa 3.2.2.9
Some e .
Etapa 3.3
Find the null space when .
Etapa 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 3.3.6
Write as a solution set.
Etapa 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 4
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 4.2
Simplifique.
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 4.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.7
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.8
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 4.2.3
Simplify each element.
Etapa 4.2.3.1
Some e .
Etapa 4.2.3.2
Some e .
Etapa 4.2.3.3
Some e .
Etapa 4.2.3.4
Some e .
Etapa 4.2.3.5
Some e .
Etapa 4.2.3.6
Some e .
Etapa 4.2.3.7
Some e .
Etapa 4.2.3.8
Some e .
Etapa 4.2.3.9
Some e .
Etapa 4.3
Find the null space when .
Etapa 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 4.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Etapa 4.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.4.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.5.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.6.2
Simplifique .
Etapa 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 4.3.6
Write as a solution set.
Etapa 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.