Álgebra linear Exemplos

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some

$- 1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Subtraia

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.3

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.4

Multiplique

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Etapa 5.2.5.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a

$0$ para encontrar os autovalores

$λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Etapa 7

Resolva

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia

$1$ dos dois lados da equação.

$λ^{2} = - 1$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 7.3

Reescreva

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$λ = \pm i$

Etapa 7.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$λ = i$

Etapa 7.4.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$λ = - i$

Etapa 7.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$λ = i, - i$