Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 & 0 & 1 3 & - 6 & 3 1 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

$3$ é a matriz quadrada

$3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ por

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 3.2

Substitua

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por

$I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

$- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some

$3$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some

$3$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some

$0$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Etapa 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Etapa 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Etapa 5.2

Multiplique

$0$ por

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Etapa 5.3

Multiplique

$0$ por

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.4

Avalie

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Expanda

$(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.1

Multiplique

$- 4$ por

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.3

Multiplique

$- 4$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.6

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.7

Multiplique

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.2

Some

$4 λ$ e

$4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Etapa 5.4.2.1.3

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia

$1$ de

$16$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Etapa 5.4.2.3

Reordene

$8 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Etapa 5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Combine os termos opostos em

$0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Some

$0$ e

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Etapa 5.5.1.2

Some

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ e

$0$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

Etapa 5.5.2

Expanda

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Multiplique

$8$ por

$- 6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique

$- 6$ por

$15$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.3

Multiplique

$λ$ por

$λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.3.1

Mova

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.3.2

Multiplique

$λ^{2}$ por

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.3.2.1

Eleve

$λ$ à potência de

$1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.3.3

Some

$2$ e

$1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.5

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.5.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.5.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.6

Multiplique

$- 1$ por

$8$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Etapa 5.5.3.7

Multiplique

$15$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

Etapa 5.5.4

Subtraia

$8 λ^{2}$ de

$- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

Etapa 5.5.5

Subtraia

$15 λ$ de

$- 48 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

Etapa 5.5.6

Mova

$- 90$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

Etapa 5.5.7

Mova

$- 63 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

Etapa 5.5.8

Reordene

$- 14 λ^{2}$ e

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a

$0$ para encontrar os autovalores

$λ$ .

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Etapa 7

Resolva

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore

$- 1$ de

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore

$- 1$ de

$- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Etapa 7.1.1.2

Fatore

$- 1$ de

$- 14 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

Etapa 7.1.1.3

Fatore

$- 1$ de

$- 63 λ$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

Etapa 7.1.1.4

Reescreva

$- 90$ como

$- 1 (90)$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Etapa 7.1.1.5

Fatore

$- 1$ de

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Etapa 7.1.1.6

Fatore

$- 1$ de

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Etapa 7.1.1.7

Fatore

$- 1$ de

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

$\frac{p}{q}$ , em que

$p$ é um fator da constante e

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2.2

Encontre todas as combinações de

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Etapa 7.1.2.3

Substitua

$- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

$0$ . Portanto,

$- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.2.3.1

Substitua

$- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Etapa 7.1.2.3.2

Eleve

$- 3$ à potência de

$3$ .

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Etapa 7.1.2.3.3

Eleve

$- 3$ à potência de

$2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

Etapa 7.1.2.3.4

Multiplique

$14$ por

$9$ .

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

Etapa 7.1.2.3.5

Some

$- 27$ e

$126$ .

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

Etapa 7.1.2.3.6

Multiplique

$63$ por

$- 3$ .

$99 - 189 + 90$

Etapa 7.1.2.3.7

Subtraia

$189$ de

$99$ .

$- 90 + 90$

Etapa 7.1.2.3.8

Some

$- 90$ e

$90$ .

$0$

Etapa 7.1.2.4

Como

$- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

$λ + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

Etapa 7.1.2.5

Divida

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ por

$λ + 3$ .

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Etapa 7.1.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

Etapa 7.1.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

Etapa 7.1.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Etapa 7.1.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$11 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Etapa 7.1.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Etapa 7.1.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$11 λ^{2} + 33 λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Etapa 7.1.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

Etapa 7.1.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Etapa 7.1.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$30 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Etapa 7.1.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

Etapa 7.1.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$30 λ + 90$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

Etapa 7.1.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

Etapa 7.1.2.5.16

Já que o resto é

$0$ , a resposta final é o quociente.

$λ^{2} + 11 λ + 30$

Etapa 7.1.2.6

Escreva

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ como um conjunto de fatores.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore.

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Etapa 7.1.3.1

Fatore

$λ^{2} + 11 λ + 30$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1.1

Fatore

$λ^{2} + 11 λ + 30$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1.1.1

Considere a forma

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

$c$ e cuja soma é

$b$ . Neste caso, cujo produto é

$30$ e cuja soma é

$11$ .

$5, 6$

Etapa 7.1.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

Etapa 7.1.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

Etapa 7.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

Etapa 7.3

Defina

$λ + 3$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina

$λ + 3$ como igual a

$0$ .

$λ + 3 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia

$3$ dos dois lados da equação.

$λ = - 3$

Etapa 7.4

Defina

$λ + 5$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina

$λ + 5$ como igual a

$0$ .

$λ + 5 = 0$

Etapa 7.4.2

Subtraia

$5$ dos dois lados da equação.

$λ = - 5$

Etapa 7.5

Defina

$λ + 6$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina

$λ + 6$ como igual a

$0$ .

$λ + 6 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia

$6$ dos dois lados da equação.

$λ = - 6$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ verdadeiro.

$λ = - 3, - 5, - 6$