Álgebra linear Exemplos

$x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 5$ $2 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = 24$ $5 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = - 14$

Etapa 1

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 24 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 4 - 2 \cdot 2 & 24 - 2 \cdot 5 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \cdot - 3 & 1 - 5 \cdot 2 & - 14 - 5 \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{7}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{7}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{0}{7} & \frac{14}{7} \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - 12 \cdot 0 & 12 - 12 \cdot 1 & - 9 - 12 \cdot 0 & - 39 - 12 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 63 \end{array}]$

Etapa 2.5

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{1}{9}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 2.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{1}{9}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 63 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Etapa 2.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Etapa 2.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 9 + 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x_{1} = - 3$

$x_{2} = 2$

$x_{3} = 7$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- 3, 2, 7)$