Álgebra linear Exemplos

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Etapa 2.2.5

Avalie o expoente.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Etapa 2.3.2

Some $9$ e $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 6$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Etapa 4

Simplifique $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $3$ e $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Etapa 4.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Etapa 4.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Etapa 4.3

$- \sqrt{3}$ é aproximadamente $- 1.7320508$ , que é negativo, então negative $- \sqrt{3}$ e remova o valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 4.4

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Etapa 5

O ponto está localizado no segundo quadrante porque $x$ é negativo e $y$ é positivo. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante $2$

Etapa 6

$(a, b)$ está no segundo quadrante. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Etapa 7

Simplifique $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 8

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 9

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Etapa 9.2

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Etapa 9.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Etapa 9.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Reordene $π$ e $3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $π$ de $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Etapa 9.5

Combine ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Etapa 9.6

Combine $c$ e $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Etapa 9.7

Combine $i$ e $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Etapa 9.8

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Etapa 9.9

Remova os parênteses.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Etapa 9.9.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Etapa 9.9.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Etapa 9.9.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Etapa 9.9.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Etapa 9.9.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Etapa 9.9.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Etapa 10

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.3

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.5.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.6

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Etapa 10.6.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Etapa 10.7

Some $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Etapa 10.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 10.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 10.9.2

Cancele o fator comum.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 10.9.3

Reescreva a expressão.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Etapa 11

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.3

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.5.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Etapa 11.7

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Etapa 11.8

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Etapa 11.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Etapa 11.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.10.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Etapa 11.10.2

Some $2 π$ e $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Etapa 11.11

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 11.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.12.1

Fatore $2$ de $8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 11.12.2

Cancele o fator comum.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 11.12.3

Reescreva a expressão.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Etapa 12

Liste as soluções.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$