Álgebra linear Exemplos

$4 + 4 i$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{4^{2} + 4^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{4^{2} + 4^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Etapa 2.3

Some $16$ e $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Etapa 2.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Etapa 2.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = 4 \sqrt{2}$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{4} |)$

Etapa 4

Simplifique $\arctan (| \frac{4}{4} |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida $4$ por $4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Etapa 4.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Etapa 5

O ponto está localizado no primeiro quadrante, porque $x$ e $y$ são positivos. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante $1$

Etapa 6

$(a, b)$ está no primeiro quadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 7

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 8

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{2}$

Etapa 8.2

Combine $c$ e $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{2}$

Etapa 8.3

Combine $i$ e $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{2}$

Etapa 8.4

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{2}$

Etapa 8.5

Remova os parênteses.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{2}$

Etapa 8.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Etapa 8.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{2}$

Etapa 8.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{2}$

Etapa 8.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

Etapa 8.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

Etapa 8.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

Etapa 9

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 9.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 9.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Cancele o fator comum.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 9.4.2

Reescreva a expressão.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 9.5

Avalie o expoente.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 9.6

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{2})$

Etapa 9.6.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{2})$

Etapa 9.7

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 9.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 9.9

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 2})$

Etapa 9.9.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{8})$

Etapa 10

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 10.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 10.4.2

Reescreva a expressão.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 10.5

Avalie o expoente.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 10.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{2})$

Etapa 10.7

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{2})$

Etapa 10.8

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Etapa 10.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Etapa 10.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.10.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{2})$

Etapa 10.10.2

Some $π$ e $8 π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

Etapa 10.11

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 10.12

Multiplique $\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.12.1

Multiplique $\frac{9 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{4 \cdot 2})$

Etapa 10.12.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{8})$

Etapa 11

Liste as soluções.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{8})$

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{8})$