Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Etapa 1

Para determinar se as colunas na matriz são linearmente dependentes, determine se a equação $A x = 0$ tem alguma solução não trivial.

Etapa 2

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 3.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 3.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{15}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{15}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.4.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 3.5

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{3}{7}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 3.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{3}{7}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.6.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 3.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 3.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Escreva a matriz como um sistema de equações lineares.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Etapa 5

Como a única solução para $A x = 0$ é a solução trivial, os vetores são linearmente independentes.

Linearmente independente