Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 3 & - 1 & 0 6 & - 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Para determinar se as colunas na matriz são linearmente dependentes, determine se a equação

A x = 0

$A x = 0$ tem alguma solução não trivial.

Etapa 2

Escreva como uma matriz aumentada para

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 3 & - 1 & 0 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Execute a operação de linha

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em

2, 1

$2, 1$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.1.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.2

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ para transformar a entrada em

3, 1

$3, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ para transformar a entrada em

3, 1

$3, 1$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{1}{7}

$- \frac{1}{7}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

- \frac{1}{7}

$- \frac{1}{7}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.4

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ para transformar a entrada em

3, 2

$3, 2$ em

0

$0$ .

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Etapa 3.4.1

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ para transformar a entrada em

3, 2

$3, 2$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.4.2

Simplifique

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.5

Execute a operação de linha

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em

1, 2

$1, 2$ em

0

$0$ .

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Etapa 3.5.1

Execute a operação de linha

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para transformar a entrada em

1, 2

$1, 2$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.5.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Remova as linhas que são todas zeros.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{array}]$

Etapa 5

Escreva a matriz como um sistema de equações lineares.

x + \frac{1}{7} z = 0

$x + \frac{1}{7} z = 0$

y + \frac{3}{7} z = 0

$y + \frac{3}{7} z = 0$

Etapa 6

Como existem soluções não triviais para

A x = 0

$A x = 0$ , os vetores são linearmente dependentes.

Linearmente dependente