Álgebra linear Exemplos

$- 3 + 4 i$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Etapa 2.3

Some $9$ e $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Etapa 2.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 5$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Etapa 4

Simplifique $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Etapa 4.2

$- \frac{4}{3}$ é aproximadamente $- 1.\overline{3}$ , que é negativo, então negative $- \frac{4}{3}$ e remova o valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Etapa 4.3

Avalie $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Etapa 5

O ponto está localizado no segundo quadrante porque $x$ é negativo e $y$ é positivo. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante $2$

Etapa 6

$(a, b)$ está no segundo quadrante. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Etapa 7

Simplifique $θ$ .

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Etapa 7.1

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 0.92729521$

Etapa 7.2

Subtraia $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$2.21429743$

Etapa 8

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 9

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

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Etapa 9.1

Substitua pela aproximação decimal.

${(5)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{2}$

Etapa 9.2

Subtraia $0.92729521$ de $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{2}$

Etapa 9.3

Combine ${(5)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2.21429743 + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Etapa 9.4

Combine $c$ e $\frac{{(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))}{2}$

Etapa 9.5

Combine $i$ e $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)))}{2}$

Etapa 9.6

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))))}{2}$

Etapa 9.7

Remova os parênteses.

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Etapa 9.7.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))))}{2}$

Etapa 9.7.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)))}{2}$

Etapa 9.7.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{2}}) (2.21429743 + 2 π k))}{2}$

Etapa 9.7.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))}{2}$

Etapa 9.7.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{2}}) (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Etapa 9.7.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Etapa 9.7.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Etapa 10

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.2

Substitua pela aproximação decimal.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.3

Subtraia $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{2})$

Etapa 10.4

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 10.4.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{2})$

Etapa 10.4.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{2})$

Etapa 10.5

Some $2.21429743$ e $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743}{2})$

Etapa 10.6

Divida $2.21429743$ por $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 1.10714871$

Etapa 10.7

Multiplique $5^{\frac{1}{2}} c i s$ por $1.10714871$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (1.10714871)$

Etapa 11

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.2

Substitua pela aproximação decimal.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.3

Subtraia $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{2})$

Etapa 11.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{2})$

Etapa 11.5

Some $2.21429743$ e $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8.49748274}{2})$

Etapa 11.6

Divida $8.49748274$ por $2$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 4.24874137$

Etapa 11.7

Multiplique $5^{\frac{1}{2}} c i s$ por $4.24874137$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (4.24874137)$

Etapa 12

Liste as soluções.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (1.10714871)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (4.24874137)$