Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre o inverso de $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O inverso de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado usando a fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ onde $a d - b c$ é o determinante.

Etapa 1.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

Etapa 1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Fatore $8$ de $32$ .

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Etapa 1.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

Etapa 1.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{5}$ para o numerador.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

Etapa 1.2.2.1.2.2

Fatore $5$ de $10$ .

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

Etapa 1.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Etapa 1.2.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$4 - 3 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$4 - 6$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$- 2$

Etapa 1.3

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 1.4

Substitua os valores conhecidos na fórmula para o inverso.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Etapa 1.6

Multiplique $- \frac{1}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.2.2

Fatore $2$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.2.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.2.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.4

Multiplique $- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ .

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Etapa 1.7.5.2

Fatore $2$ de $32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

Etapa 1.7.5.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

Etapa 1.7.5.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

Etapa 1.7.6

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 3

Simplifique a equação.

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Etapa 3.1

Multiplique $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

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Etapa 3.1.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é $2 \times 2$ e a segunda matriz é $2 \times 2$ .

Etapa 3.1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 3.1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 3.2

Multiplicar a matriz identidade por qualquer matriz $A$ é a própria matriz $A$ .

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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Etapa 3.3.1

Etapa 3.3.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$