Álgebra linear Exemplos

$x + 3 y - 4 z = 2$ $3 x + 10 y - 12 z = 8$ $9 x + 28 y - 36 z = 20$

Etapa 1

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 3 & 10 & - 12 & 8 \\ 9 & 28 & - 36 & 20 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 10 - 3 \cdot 3 & - 12 - 3 \cdot - 4 & 8 - 3 \cdot 2 \\ 9 & 28 & - 36 & 20 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 9 & 28 & - 36 & 20 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 28 - 9 \cdot 3 & - 36 - 9 \cdot - 4 & 20 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Etapa 2.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x - 4 z = - 4$

$y = 2$

$0 = 0$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- 4 + 4 z, 2, z)$