Álgebra linear Exemplos

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

Etapa 1

Mova todas as variáveis para o lado esquerdo de cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

Etapa 1.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

Etapa 1.3

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $- 8 x$ .

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

Etapa 2

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre o determinante da matriz de coeficientes $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Escreva $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ na notação de determinante.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Etapa 3.3

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- (- 8 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$5 - 1 \cdot 32$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$5 - 32$

Etapa 3.3.2

Subtraia $32$ de $5$ .

$- 27$

$D = - 27$

Etapa 4

Como o determinante não é $0$ , o sistema pode ser resolvido usando a Regra de Cramer.

Etapa 5

Encontre o valor de $x$ pela regra de Cramer, que afirma que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a coluna $1$ da matriz de coeficientes que corresponde aos coeficientes $x$ do sistema por $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 5.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- (- 2 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$- 3 - 1 \cdot 8$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 3 - 8$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $8$ de $- 3$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Etapa 5.3

Use a fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Etapa 5.4

Substitua $- 27$ por $D$ e $- 11$ por $D_{x}$ na fórmula.

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Etapa 5.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{11}{27}$

Etapa 6

Encontre o valor de $y$ pela regra de Cramer, que afirma que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a coluna $2$ da matriz de coeficientes que corresponde aos coeficientes $y$ do sistema por $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Etapa 6.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $- (- 8 \cdot - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Multiplique $- 8$ por $- 3$ .

$- 10 - 1 \cdot 24$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$- 10 - 24$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $24$ de $- 10$ .

$- 34$

$D_{y} = - 34$

Etapa 6.3

Use a fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Etapa 6.4

Substitua $- 27$ por $D$ e $- 34$ por $D_{y}$ na fórmula.

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Etapa 6.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{34}{27}$

Etapa 7

Liste a solução para o sistema de equações.

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$