Álgebra linear Exemplos

$x_{1} + x_{2} - x_{3} = 7$ $4 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} = 4$ $2 x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3} = 0$

Etapa 1

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 4 & - 1 & 5 & 4 \\ 2 & 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot - 1 & 4 - 4 \cdot 7 \\ 2 & 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & - 5 & 9 & - 24 \\ 2 & 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & - 5 & 9 & - 24 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & - 5 & 9 & - 24 \\ 0 & 0 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{5}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{5}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 9 & - \frac{1}{5} \cdot - 24 \\ 0 & 0 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{9}{5} & \frac{24}{5} \\ 0 & 0 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Etapa 2.4

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{9}{5} & \frac{24}{5} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 14 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{9}{5} & \frac{24}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 2.5

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + \frac{9}{5} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.5.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + \frac{9}{5} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & \frac{24}{5} + \frac{9}{5} \cdot 14 \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 2.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 7 + 1 \cdot 14 \\ 0 & 1 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 21 \\ 0 & 1 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 2.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 21 - 30 \\ 0 & 1 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & 14 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x_{1} = - 9$

$x_{2} = 30$

$x_{3} = 14$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- 9, 30, 14)$