Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre o determinante.

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Etapa 1.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna $2$ por seu cofator e some.

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Etapa 1.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 1.1.3

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.1.4

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.1.5

O menor para $a_{22}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.1.6

Multiplique o elemento $a_{22}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.1.7

O menor para $a_{32}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Etapa 1.1.8

Multiplique o elemento $a_{32}$ por seu cofator.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Etapa 1.1.9

Adicione os termos juntos.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Etapa 1.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Etapa 1.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Etapa 1.4

Avalie $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Etapa 1.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Etapa 1.4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Etapa 1.4.2.2

Some $0$ e $2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Etapa 1.5

Simplifique o determinante.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 0 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $2$ e $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.5.3

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 3

Configure uma matriz $3 \times 6$ onde a metade esquerda é a matriz original e a metade direita é sua matriz identidade.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 4.1

Troque $R_{2}$ por $R_{1}$ para colocar uma entrada diferente de zero em $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.2

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{6}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{6}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 4.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 4.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Etapa 4.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Etapa 4.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Etapa 4.5

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $3$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $3$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Etapa 4.6

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 4.6.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Etapa 4.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Etapa 4.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 4.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Etapa 4.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Etapa 5

A metade direita da forma escalonada reduzida é o inverso.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$