Matemática discreta Exemplos

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.2

Expanda $(x - 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot 2$ e $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.3.1.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.1.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Etapa 2.2

Simplifique $2 \log (x - 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Etapa 2.3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4

Resolva $x$ .

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Etapa 2.4.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.4.1.1

Reescreva.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4.1.2

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Etapa 2.4.1.3

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Etapa 2.4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Etapa 2.4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.1.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.1.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.1.4.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.1.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Etapa 2.4.1.4.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 2.4.2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Etapa 2.4.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.4.3.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Etapa 2.4.3.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

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Etapa 2.4.3.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Etapa 2.4.3.2.2

Some $- 2 x + 1$ e $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Etapa 2.4.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.4.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 4 - 1$

Etapa 2.4.4.2

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Etapa 2.4.5

Divida cada termo em $- 2 x = - 5$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.5.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 2.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 2.4.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 2.4.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.2.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2.5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.2.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Etapa 3.2.7

Consolide as soluções.

$x = - 2, 2, 1$

Etapa 3.2.8

Encontre o domínio de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

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Etapa 3.2.8.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.8.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2.8.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.2.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 3.2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 3.2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 3.2.10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.1.3

O lado esquerdo $0.48$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.2.10.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.2.10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.2.3

O lado esquerdo $- 4$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.2.10.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 3.2.10.3.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.3.3

O lado esquerdo $- 7$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.2.10.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.2.10.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.4.3

O lado esquerdo $1.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.2.10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 3.2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 2$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > \frac{5}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x > \frac{5}{2}$

Notação de intervalo:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 6