Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ por $4$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ por $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$x^{2} - 8 x + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0 \cdot 4$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Etapa 4

Fatore $x^{2} - 8 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 6, - 2$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 2$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3 \leq 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 3 \leq 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4} \cdot {(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 3 \leq 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 \leq x \leq 6$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 \leq x \leq 6$

Notação de intervalo:

$[2, 6]$

Etapa 13