Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{1 + \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 2

Defina o radicando em $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 + \sqrt{x} < 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{x} < - 1$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x}}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$x < {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x < 1$

Etapa 3.4

Encontre o domínio de $1 + \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 3.4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 3.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 3.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 3.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$1 + \sqrt{- 2} < 0$

Etapa 3.6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 3.6.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$1 + \sqrt{0.5} < 0$

Etapa 3.6.2.3

O lado esquerdo $1.70710678$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$1 + \sqrt{4} < 0$

Etapa 3.6.3.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Etapa 3.7

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução

Etapa 4

Defina o radicando em $\sqrt{1 - \sqrt{x}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - \sqrt{x} < 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{x} < - 1$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(- \sqrt{x})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.5

Simplifique.

$x < {(- 1)}^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x < 1$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $1 - \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 5.4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 1$

Etapa 6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0, x > 1$

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Etapa 7