Matemática discreta Exemplos

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$

Etapa 1

Escreva $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ como uma equação.

$y = 750 x^{2} + 15000 x$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 750 y^{2} + 15000 y$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $750 y^{2} + 15000 y = x$ .

$750 y^{2} + 15000 y = x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$750 y^{2} + 15000 y - x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 750$ , $b = 15000$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (750 \cdot (- x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $15000$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 3000$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $3000$ de $225000000 + 3000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.3.1

Fatore $3000$ de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.3.2

Fatore $3000$ de $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $3000 (75000 + x)$ como $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.4.1

Fatore $100$ de $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.4.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.4.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $15000$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 3000$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $3000$ de $225000000 + 3000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.3.1

Fatore $3000$ de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.3.2

Fatore $3000$ de $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $3000 (75000 + x)$ como $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.4.1

Fatore $100$ de $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.4.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.6.5

Reescreva $- 1500$ como $- 1 (1500)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.6.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{30 (75000 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

Etapa 3.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1500) - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (1500 - \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

Etapa 3.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $15000$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $- 3000$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.3

Fatore $3000$ de $225000000 + 3000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.3.1

Fatore $3000$ de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.3.2

Fatore $3000$ de $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $3000 (75000 + x)$ como $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.4.1

Fatore $100$ de $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.4.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.4.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Etapa 3.7.5

Fatore $- 1$ de $- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1

Reordene $75000$ e $x$ .

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Etapa 3.7.5.2

Reescreva $- 1500$ como $- 1 (1500)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Etapa 3.7.5.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{30 (x + 75000)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - (\sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Etapa 3.7.5.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1500) - (\sqrt{30 (x + 75000)})$ .

$y = \frac{- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Etapa 3.7.5.5

Reescreva $- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ como $- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ .

$y = \frac{- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Etapa 3.7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Etapa 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Etapa 5

Verifique se $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ é o inverso de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ e $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 75000, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{30 (75000 + x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$30 (75000 + x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $30 (75000 + x) \geq 0$ por $30$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $30 (75000 + x) \geq 0$ por $30$ .

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $75000 + x$ por $1$ .

$75000 + x \geq \frac{0}{30}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $30$ .

$75000 + x \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $75000$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 75000$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 75000, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ é o intervalo de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ , e o intervalo de $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ é o domínio de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ , então, $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ é o inverso de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Etapa 6