Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 10 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 10 x^{3}$ como uma equação.

$y = 10 x^{3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 10 y^{3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $10 y^{3} = x$ .

$10 y^{3} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $10 y^{3} = x$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $10 y^{3} = x$ por $10$ .

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{10}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt[3]{10}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.3.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Etapa 3.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{10}$ como $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Etapa 3.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Etapa 3.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ como $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

Etapa 3.4.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

Etapa 3.4.5.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ é o inverso de $f (x) = 10 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (10 x^{3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $100$ por $10$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $1000 x^{3}$ como ${(10 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

Etapa 5.2.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

Etapa 5.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

Etapa 5.3.4

Reescreva ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ como $100 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{100 x}$ como ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Etapa 5.3.4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Etapa 5.3.4.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Etapa 5.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Etapa 5.3.4.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Etapa 5.3.5

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $10$ de $1000$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Etapa 5.3.7.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ é o inverso de $f (x) = 10 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$