Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ como uma equação.

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ .

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

Etapa 3.3

Reescreva $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x - 5} = y - 8$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $y - 8 = 2^{x - 5}$ .

$y - 8 = 2^{x - 5}$

Etapa 3.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = 2^{x - 5} + 8$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ é o inverso de $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ .

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

Etapa 5.2.3.2

Some $\log_{2} (x - 8)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

Etapa 5.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $x - 8 + 8$ .

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Etapa 5.2.5.1

Some $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (2^{x - 5} + 8)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

Etapa 5.3.3.2

Some $2^{x - 5}$ e $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Use as regras logarítmicas para mover $x - 5$ para fora do expoente.

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

Etapa 5.3.4.2

A base do logaritmo $2$ de $2$ é $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Etapa 5.3.4.3

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 5 + 5$ .

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Etapa 5.3.5.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ é o inverso de $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$