Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ como uma equação.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Etapa 3.3.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Etapa 3.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Etapa 3.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Etapa 3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Etapa 3.3.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{y}}{2}$ para o numerador.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.6.2

Cancele o fator comum.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.6.3

Reescreva a expressão.

$5 - e^{y} = 2 x$

Etapa 3.4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- e^{y} = 2 x - 5$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- e^{y} = 2 x - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 x)$ como $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 3.5.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 3.5.3.1.4

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Etapa 3.6

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Etapa 3.7

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Etapa 3.7.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Etapa 3.7.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Etapa 5.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Etapa 5.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{x}}{2}$ para o numerador.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Etapa 5.2.3.7.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.7.3

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Etapa 5.2.3.7.4

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Etapa 5.2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Etapa 5.2.3.9

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $- 5 + e^{x} + 5$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Etapa 5.2.4.2

Some $0$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.5

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (- 2 x + 5))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Etapa 5.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.4.1

Combine os termos opostos em $5 + 2 x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 5.3.4.1.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$