Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ como uma equação.

$y = \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{y^{5}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{y^{5}} = x$ .

$\frac{1}{y^{5}} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{5}, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{5}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{5}} = x$ por $y^{5}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{5}} = x$ por $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = x y^{5}$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x y^{5} = 1$ .

$x y^{5} = 1$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $x y^{5} = 1$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $x y^{5} = 1$ por $x$ .

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Reescreva $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ como $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

Etapa 3.4.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Etapa 3.4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Etapa 3.4.4.4.2

Eleve $\sqrt[5]{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Etapa 3.4.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

Etapa 3.4.4.4.4

Some $1$ e $4$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

Etapa 3.4.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Etapa 3.4.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 3.4.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.4.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.4.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

Etapa 3.4.4.4.5.5

Simplifique.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

Etapa 3.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ como $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

Etapa 5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

Etapa 5.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Etapa 5.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Etapa 5.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

Etapa 5.2.6.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

Etapa 5.2.7

Reescreva $1$ como $1^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

Etapa 5.2.8

Reescreva $x^{20}$ como ${(x^{4})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

Etapa 5.2.9

Reescreva $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ como ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

Etapa 5.2.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

Etapa 5.2.11

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 5.2.11.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Etapa 5.2.11.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Etapa 5.2.11.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ como $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Combine $\frac{4}{5}$ e $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.5

Cancele o fator comum de $20$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.5.1

Fatore $5$ de $20$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.5.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.2.5.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Etapa 5.3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Etapa 5.3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

Etapa 5.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$