Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $(y^{2} - 1) (x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Etapa 3.3.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ por $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 3.3.1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 3.3.1.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 3.3.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 3.3.1.4.2

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 3.3.1.4.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x - y^{2}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y^{2} (x - 1) = x$ por $x - 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y^{2} (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Etapa 3.4.6.1

Reescreva $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ como $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ por $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Etapa 3.4.6.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.6.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ por $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Etapa 3.4.6.3.2

Eleve $\sqrt{x - 1}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Etapa 3.4.6.3.3

Eleve $\sqrt{x - 1}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Etapa 3.4.6.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.6.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Etapa 3.4.6.3.6

Reescreva ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Etapa 3.4.6.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.6.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.6.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.6.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.6.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.6.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Etapa 3.4.6.3.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Etapa 3.4.6.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Etapa 3.4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Etapa 3.4.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Etapa 3.4.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x (x - 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (x - 1) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 5.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 5.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) ((- 2) - 1) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 5.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$(0.5) ((0.5) - 1) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 5.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(4) ((4) - 1) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 5.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 0$ ou $x \geq 1$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 5.4.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.4.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 5.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ é o domínio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Etapa 6