Matemática discreta Exemplos

2 x^{2} - 12 x + 3

$2 x^{2} - 12 x + 3$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

Etapa 2

Resolva

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ .

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

Etapa 2.2

Subtraia

$x$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

Etapa 2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4

Substitua os valores

$a = 2$ ,

$b = - 12$ e

$c = 3 - x$ na fórmula quadrática e resolva

$y$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve

$- 12$ à potência de

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.4

Multiplique

$- 8$ por

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.6

Subtraia

$24$ de

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.7

Fatore

$8$ de

$120 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.7.1

Fatore

$8$ de

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.7.2

Fatore

$8$ de

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.8

Reescreva

$8 (15 + x)$ como

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.8.1

Fatore

$4$ de

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.8.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Etapa 2.5.3

Simplifique

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte

$+$ de

$\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve

$- 12$ à potência de

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique

$- 8$ por

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.6

Subtraia

$24$ de

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.7

Fatore

$8$ de

$120 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.7.1

Fatore

$8$ de

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.7.2

Fatore

$8$ de

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.8

Reescreva

$8 (15 + x)$ como

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.8.1

Fatore

$4$ de

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.8.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.2

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Etapa 2.6.3

Simplifique

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 2.6.4

Altere

$\pm$ para

$+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte

$-$ de

$\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve

$- 12$ à potência de

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique

$- 8$ por

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.6

Subtraia

$24$ de

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.7

Fatore

$8$ de

$120 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.7.1

Fatore

$8$ de

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.7.2

Fatore

$8$ de

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.8

Reescreva

$8 (15 + x)$ como

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.8.1

Fatore

$4$ de

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.8.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.2

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Etapa 2.7.3

Simplifique

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 2.7.4

Altere

$\pm$ para

$-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 4

Verifique se

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ é o inverso de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ e

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores

$y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 15, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de

$\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o radicando em

$\sqrt{2 (15 + x)}$ como maior do que ou igual a

$0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (15 + x) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em

$2 (15 + x) \geq 0$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Divida cada termo em

$2 (15 + x) \geq 0$ por

$2$ .

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.1.2

Divida

$15 + x$ por

$1$ .

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Divida

$0$ por

$2$ .

$15 + x \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia

$15$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 15$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de

$x$ que tornam a expressão definida.

$[- 15, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ é o intervalo de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , e o intervalo de

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ é o domínio de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , então,

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ é o inverso de

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Etapa 5