Matemática discreta Exemplos

$e^{2 x}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = e^{2 y}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $e^{2 y} = x$ .

$e^{2 y} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1

Expanda $\ln (e^{2 y})$ movendo $2 y$ para fora do logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

Etapa 2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (x)$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $2 y = \ln (x)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $2 y = \ln (x)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ é o inverso de $f (x) = e^{2 x}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{2 x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (e^{2 x})$ movendo $2 x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x \ln (e)$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

Etapa 4.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

Etapa 4.2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x)}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ é o inverso de $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$